問題
- ３つのドアがあり、一つは当たりの新車が、それ以外はハズレを意味するヤギが後ろに隠されている。
- あなたはどれかを一つを選択する
- すると司会者が残りの２つのうち、ヤギが入っている方を開けてみせる。
- あなたはドアを変えるチャンスが与えられる。変えるべきだろうか。
心理的には
- 変えるかどうかの選択をする時点では２つのドアのどちらかが当たりである。
- 五分五分なら最初の選択肢を固辞した方がいいのではないか。（変えて外れると悔しさがより大きい）
- 実際のテレビショーでは多くの回答者が変えない選択をしたらしい
数学的には
- ドアをA,B,Cとする。
- プレイヤがAを選択したとき、そのドアが当たりの確率は 1/3 (33%)、残りの２つが当たりの確率はあわせて 2/3 (66%)
- 司会者が C を開けたとする。そのため、C が 0%となり、 B が 2/3 (66%) になる
- よって変える方が当たる確率が倍になる。( Aは 33%、B は 66% )
司会者の行動ポリシーの影響
- プレイヤが最初に選択したとき当たり確率は 1/3 (33%) である
- プレイヤが選択を変えない場合、その後司会者が何をしようとその前に選んだのだから確率は変わらないようにみえる。
- しかし、そうではない。上に書いた「倍になる」のは司会者が開くドアが等確率の場合のみ成立する。
司会者の選択が50%でない場合について検討
- 司会者は当たりのドアを開けないので事象の組み合わせは以下の６つ。
1.Aが当たり、司会者は B を開ける 2.Aが当たり、司会者は C を開ける 3.Bが当たり、司会者は C を開ける 4.Bが当たり、司会者は A を開ける 5.Cが当たり、司会者は A を開ける 6.Cが当たり、司会者は B を開ける
- ここではプレイヤがAを選択し、司会者がBを開けてハズレを見せたものとする（前提条件）。
- そして司会者のBを選択する確率について場合分けして考える。
- パターン１：0%の場合
- 0%とは、プレイヤがA を選択し、かつ、Aが当たりのとき、司会者は B と C を選べるが、このときは 必ず C を選ぶということ。
- そんな司会者が B を選んだということから、A が当たりでないことが確定する。
1.Aが当たり、司会者は B を開ける→これが起きる確率が 0% ということ 2.Aが当たり、司会者は C を開ける 3.Bが当たり、司会者は C を開ける→前提条件からBは当たりではないので対象外 4.Bが当たり、司会者は A を開ける→前提条件からBは当たりではないので対象外 5.Cが当たり、司会者は A を開ける→Aはプレイヤが選択済なので司会者はBを開けることになる 6.Cが当たり、司会者は B を開ける
この場合の確率
- 司会者がBを開けたという条件に合うのは 5, 6 の場合だけ。つまり、C が当たりの条件付き確率は 100%。逆にAは0%
- つまり、司会者の行動ポリシーによっては Aの確率が 0%に変わる
パターン２：50%の場合
1.Aが当たり、司会者は B を開ける→ 1/3 * 1/2 (Aが当たりの確率 1/3 と、Bを開ける確率 1/2) 2.Aが当たり、司会者は C を開ける→ 1/3 * 1/2 3.Bが当たり、司会者は C を開ける→Bは当たりではない 4.Bが当たり、司会者は A を開ける→Bは当たりではない 5.Cが当たり、司会者は A を開ける→Bをあける 6.Cが当たり、司会者は B を開ける
確率
- 司会者が Bを開けるのは 1 と 5 と 6
- Aが当たりなのは 1 だけ。つまりAが当たりの条件付き確率は
- X = Aが当たり
- Y = 司会者がBを開けた
- P(X|Y) = P(X U Y) / P (Y) = (1/6) / ( 1/6 + 1/3) = 1/3
- Cが当たりの条件付き確率は、(1/3) / (1/6 + 1/3) = 2/3
- 一般的なモンティホール問題の解。ドアを変更した方が当たる確率が倍になる
パターン３：100% の場合
1.Aが当たり、司会者は B を開ける →1/3 * 100% 2.Aが当たり、司会者は C を開ける →1/3 * 0% 3.Bが当たり、司会者は C を開ける→Bは当たりではない 4.Bが当たり、司会者は A を開ける→Bは当たりではない 5.Cが当たり、司会者は A を開ける→Bをあける 6.Cが当たり、司会者は B を開ける
確率
- Aがあたりの条件付き確率は (1/3) / ( 1/3 + 1/3) = 1/2
- Cは、(1/3) / (1/3 + 1/3) = 1/2
- この場合、プレイヤはドアを変更してもしなくても当たる確率は変わらない
いずれにせよ、司会者のポリシーによってAが当たりの確率は変わる
ドアの当たり確率が均等でない場合
- ドアA は 40%、B は 20%、 Cは40% で当たるものとする。
- あなたは当然 B を避けて、A を選んだ。当たる確率は 40%
- なお、Aが当たりのとき司会者は50%の確率でBまたはCを選ぶとする
司会者が B を開けた場合
1.Aが当たり、司会者は B を開ける→ Aが当たり(40%)かつ司会者選択が50%なので、40% * 50% 2.Aが当たり、司会者は C を開ける 3.Bが当たり、司会者は C を開ける→司会者がBを開けたのでBが当たりではない 4.Bが当たり、司会者は A を開ける→司会者がBを開けたのでBが当たりではない 5.Cが当たり、司会者は A を開ける→このパターンのとき司会者はBをあける 6.Cが当たり、司会者は B を開ける
- 1は 1/5、5と6は合わせて 2/5 (Cが当たりの確率は40%=2/5だから)
- Aが当たる条件付き確率は、(1/5) / (1/5 + 2/5) = 1/3 = 33%
- 司会者がBを開ける前は Aが当たりの確率は 40% だったので Aの当たりの可能性は 33%に下がった…
司会者が C を開けた場合
1.Aが当たり、司会者は B を開ける 2.Aが当たり、司会者は C を開ける 40% x 50% = 20% (1/5) 3.Bが当たり、司会者は C を開ける 20% 4.Bが当たり、司会者は A を開ける→Aは選択済、Bは当たりなので不可能 5.Cが当たり、司会者は A を開ける→Cは当たりではない 6.Cが当たり、司会者は B を開ける→Cは当たりではない
- Cを開けて、Aが当たりの条件付き確率は (1/5) / (1/5 + 1/5) = 1/2
- Aの当たりの確率は 40%から50%に上がった。
